【 Đề thứ ba (45 phân )】
【 Thiết lập f:ℕ→ℕ Là nghiêm ngặt tăng lên hàm số, thỏa mãn f(1)=1 lại đối với tùy ý số nguyên dương n, có f(f(n))=f(n)+n.
Cầu f(n) biểu đạt thức.】
Giang Thần nhìn lướt qua.
“Hàm số Phương Trình Đề, kinh điển đề hình.”
Hắn cơ hồ không có suy xét, trực tiếp viết:
“Giải: Trước tiên cầu phía trước mấy hạng. Từ f(1)=1, thay vào n=1 phải f(f(1))=f(1)+1, tức f(1)=1+1=2, mâu thuẫn? Bởi vì f(1)=1, cho nên f(f(1))=f(1)=1, bên phải f(1)+1=2, 1=2 mâu thuẫn?”
Giang Thần ngây ngẩn cả người.
“Đề mục sai lầm?”
Hắn một lần nữa đọc đề: “f:ℕ→ℕ Là nghiêm ngặt tăng lên hàm số, thỏa mãn f(1)=1 lại đối với tùy ý số nguyên dương n, có f(f(n))=f(n)+n.”
Thay vào n=1: f(f(1))=f(1)+1 → f(1)=1+1=2, nhưng f(1)=1, mâu thuẫn.
“Cái này......”
Giang Thần nhíu mày.
Ba giây sau, hắn hiểu rồi.
“A, f(1)=1, nhưng f(f(1))=f(1) sao? Không, f(1)=1, cho nên f(f(1))=f(1)=1, bên phải hẳn là 1+1=2, chính xác mâu thuẫn.”
“Trừ phi...... Đề mục bên trong ℕ Là số nguyên dương, nhưng cũng có thể bao hàm 0?
Hoặc f(1)=1 là ban đầu điều kiện, nhưng hàm số Phương Trình đối với n≥2 thành lập?”
Hắn tiếp tục tiếp tục nghĩ.
“Trước tiên giả thiết đề mục không tệ, mâu thuẫn như vậy lời thuyết minh ta suy luận có vấn đề.f(f(n))=f(n)+n, làm n=1 lúc, f(f(1))=f(1)+1=2, cho nên f(f(1))=2.”
“Mà f(1)=1, cho nên f(1)=1, như vậy f(f(1))=f(1)=1, nhưng cần chờ tại 2, cho nên nhất thiết phải f(1)≠1?
Nhưng đề mục rõ ràng nói f(1)=1.”
Giang Thần cảm giác đầu óc có chút loạn.
“Đề này...... Có vấn đề?”
Hắn quyết định trước tiên nhảy qua, nhìn đề thứ tư.
【 Đề thứ tư (45 phân )】
【 Thiết lập p là kỳ số nguyên tố, a₁,a₂,...,a_p là số nguyên. Chứng minh: Tồn tại số nguyên k(1≤k≤p) khiến cho ∑_{i=1}^p (a_{i+k} - a_i)² Có thể bị p² Chia hết, ở đây phía dưới tiêu mô hình p lý giải ( Tức a_{p+1}=a_1 đẳng ).】
Giang Thần xem xong, nhãn tình sáng lên.
“Số luận tổ hợp đề, có chút ý tứ.”
“∑(a_{i+k}-a_i)² = ∑a_{i+k}² - 2∑a_{i+k}a_i + ∑a_i² = 2∑a_i² - 2∑a_{i+k}a_i, bởi vì ∑a_{i+k}²=∑a_i².”
“Cho nên muốn chứng nhận tồn tại k làm cho 2∑a_i² - 2∑a_{i+k}a_i ≡ 0 mod p², tức ∑a_i² ≡ ∑a_{i+k}a_i mod p²/2?
Không đúng, mô hình p².”
“Tức chứng nhận tồn tại k làm cho ∑a_{i+k}a_i ≡ ∑a_i² mod p².”
“Nhớ S_k = ∑a_i a_{i+k}, muốn chứng nhận tồn tại k làm cho S_k ≡ S_0 mod p², trong đó S_0=∑a_i².”
“Cái này đồng giá tại chứng nhận tồn tại k làm cho S_k - S_0 ≡ 0 mod p².”
“Cân nhắc tất cả k S_k chi cùng? Hoặc dùng đa thức phương pháp......”
Giang Thần đầu óc phi tốc chuyển động.
10 giây sau, hắn có mạch suy nghĩ.
“Dùng Fourier biến hóa ( Ly tán Fourier biến hóa ).”
“Thiết lập A(x)=∑a_i x^i( Đa thức ), thì S_k là A(x)A(x^{-1}) bên trong x^k hạng hệ số? Không đúng, tuần hoàn cuốn tích.”
“Trên thực tế, S_k = ∑a_i a_{i+k} Là danh sách {a_i} Tự tương quan hàm số.”
“Muốn chứng nhận tồn tại k làm cho S_k ≡ S_0 mod p². Nếu như tất cả S_k ≡ S_0 mod p² Cũng không được lập, như vậy tất cả S_k - S_0 ≡ 0 mod p² Cũng không được lập......”
“Dùng phép phản chứng: Giả thiết đối với tất cả k đều có S_k ≢ S_0 mod p², thì S_k - S_0 ≡ r_k mod p², trong đó r_k là 1 đến p²-1 ở giữa đếm.”
“Cân nhắc ∑_{k=1}^p (S_k - S_0) = ∑_k ∑_i a_i(a_{i+k}-a_i) =......”
Giang Thần tại trên giấy nháp nhanh chóng tính toán.
Hai phút sau, hắn tìm được mấu chốt đẳng thức.
“Có!∑_{k=1}^p S_k = p∑a_i², cho nên ∑_{k=1}^p (S_k - S_0) = p∑a_i² - p∑a_i² = 0.”
“Nhưng nếu như mỗi cái S_k - S_0 đều không bị p² Chia hết, bọn chúng cùng mô hình p² Không thể là vì 0, mâu thuẫn.”
“Cho nên tồn tại k làm cho p² Chia hết S_k - S_0.”
“Nghiêm Cẩn Hóa: Thiết lập b_i = a_i mod p, cân nhắc mô hình p ở dưới danh sách {b_i}, dùng giống luận chứng nhưng phải tồn tại k làm cho ∑b_i b_{i+k} ≡ ∑b_i² mod p, tiếp đó tăng lên tới mô hình p²......”
Bốn phút, đề thứ tư giải quyết.
Giang Thần mắt nhìn thời gian: 9:50.
Đề thứ tư làm xong, còn lại đề thứ ba.
Hắn quay đầu lại nhìn đề thứ ba.
“Hàm số Phương Trình f(f(n))=f(n)+n, f nghiêm ngặt tăng lên, f(1)=1.”
“Thay vào n=1 phải f(1)=2, mâu thuẫn. Cho nên hoặc là đề mục sai, hoặc là ta hiểu sai.”
Giang Thần nghĩ nghĩ, đột nhiên linh quang lóe lên.
“Chờ đã, f là ℕ→ℕ, ℕ Bình thường ngụ ý số nguyên, nhưng có khi cũng bao hàm 0.
Nếu như bao hàm 0, như vậy f(0) có thể tồn tại.”
“Thiết lập f(0)=c, thì f(f(0))=f(c)=f(0)+0=c, cho nên f(c)=c.”
“Từ f nghiêm ngặt tăng lên, f(0)=c, f(1)=1, nếu như c<1, thì f(0)nhưng 0<1, có thể.c nhất định phải là số nguyên, cho nên c=0.”
“Như vậy f(0)=0, f(1)=1, thay vào n=1: f(f(1))=f(1)+1=2, cho nên f(1)=2?
Nhưng f(1)=1, mâu thuẫn.”
“Vẫn là mâu thuẫn.”
Giang Thần nhíu mày.
“Trừ phi......f(1) không phải 1?
Nhưng đề mục rõ ràng nói f(1)=1.”
Hắn quyết định thay cái mạch suy nghĩ.
“Giả thiết f(1)=1, như vậy f(f(1))=f(1)=1, nhưng Phương Trình yêu cầu f(f(1))=f(1)+1=2, mâu thuẫn.”
“Cho nên đề mục nhất định có in ấn sai lầm? Hoặc ℕ Là số tự nhiên tụ tập bao quát 0, lại f(0)=1?”
“Thiết lập f(0)=1, như vậy f(1) là bao nhiêu? Từ nghiêm ngặt tăng lên, f(1)>f(0)=1.”
“Thay vào n=0: f(f(0))=f(1)=f(0)+0=1, cho nên f(1)=1, nhưng f(1)>1, mâu thuẫn.”
“Cũng không được.”
Giang Thần cảm giác đề này như cái ngõ cụt.
Hắn mắt nhìn thời gian, 9:52.
“Tính toán, trước tiên theo tiêu chuẩn phương pháp giải, giả thiết f(1)=1 thành lập, xem nhẹ n=1 mâu thuẫn.”
“Lệnh g(n)=f(n)-n, thì Phương Trình biến thành f(f(n))=f(n)+n → f(n+g(n))=n+g(n)+g(n)=n+2g(n).”
“Nhưng f(n+g(n)) lại tương đương f(f(n))=f(n)+n=n+2g(n), trước sau như một với bản thân mình.”
“Từ nghiêm ngặt tăng lên, g(n) không phải phụ lại tăng lên? Không nhất định.”
“Nếm thử cầu phía trước mấy hạng: Thiết lập f(1)=1, thì f(f(1))=f(1)=1, nhưng Phương Trình yêu cầu tương đương 2, cho nên mâu thuẫn. Nhảy qua n=1.”
“Từ n=2 bắt đầu: f(f(2))=f(2)+2, thiết lập f(2)=a, thì f(a)=a+2.”
“Từ nghiêm ngặt tăng lên, f(1)=1cho nên a≥2.”
“f(3)=b, thì f(b)=b+3, lại b>a≥2.”
“Tiếp tục suy luận......”
Giang Thần tại giấy nháp kể trên ra một chuỗi đẳng thức.
Hai phút sau, hắn đoán được đáp án.
“f(n) = φn + ψ, trong đó φ Là tỉ lệ vàng (1+√5)/2?
Không đúng, nhất định phải là số nguyên hàm số.”
“Trên thực tế, kinh điển giải là f(n)=⌊φn⌋ Hoặc giống hình thức, nhưng cần nghiệm chứng.”
Hắn nhanh chóng nghiệm chứng một chút.
“Thiết lập φ=(1+√5)/2≈1.618, thì φ²=φ+1.”
“Nếu như f(n)=⌊φn⌋, thì f(f(n))=⌊φ⌊φn⌋⌋≈φ²n=φn+n=f(n)+n, xấp xỉ thành lập.”
“Nhưng nghiêm ngặt thành lập cần số luận tính chất, đây là kinh điển Beatty danh sách.”
Giang Thần quyết định trực tiếp viết đáp án:
“Giải: f(n)=⌊φn⌋, trong đó φ=(1+√5)/2, lại n≥1 lúc thành lập. Nghiệm chứng: Từ Beatty định lý, ⌊φ⌊φn⌋⌋=⌊φ²n⌋=⌊(φ+1)n⌋=⌊φn+n⌋=⌊φn⌋+n=f(n)+n, làm φn không phải số nguyên lúc thành lập, mà φ Là số vô nghĩa, φn vĩnh viễn không vì số nguyên, nguyên nhân đẳng thức thành lập.”
“Nhưng cần nghiệm chứng nghiêm ngặt tăng lên: Rõ ràng.”
“f(1)=⌊φ⌋=1, thỏa mãn.”
Viết xong, Giang Thần nhẹ nhàng thở ra.
“Đề này thật mẹ hắn nhiễu.”
Mắt nhìn thời gian: 9:55.
Bốn đạo đề, mười lăm phút giải quyết.
Lúc này nộp bài thi, có quá sớm rồi hay không chút?
Lại chấm bài thi lão sư nhìn, có thể hay không không đủ kinh diễm?
Không được, còn phải bộc lộ tài năng.
Giang Thần không có lập tức nộp bài thi, mà là lại đem ánh mắt nhìn về phía cuối cùng một đạo đề áp trục.
“Đề này, giải pháp có rất nhiều, vừa rồi chỉ dùng thường thấy nhất một loại!”
“Còn có loại thứ hai......”
“Loại thứ ba......”
Sau 5 phút.
10:00 cả.
Hắn nhấc tay.
“Lão sư, nộp bài thi.”
......
Trong trường thi hoàn toàn yên tĩnh.
Tất cả mọi người ngẩng đầu, nhìn xem Giang Thần, ánh mắt phức tạp.
Có kinh ngạc, có nghi hoặc, càng nhiều hơn chính là...... Khinh thường.
“Lại nộp bài thi?”
“Hai mươi phút, hắn có thể làm cái gì?”
“Đoán chừng là một đạo cũng sẽ không, dứt khoát từ bỏ.”
“Lãng phí danh ngạch, thực sự là......”
Tần Mặc ngồi ở hàng thứ nhất, ngẩng đầu nhìn Giang Thần một mắt, ánh mắt lạnh nhạt.
Hắn vừa mới làm xong đề thứ nhất, đang tại làm đề thứ hai.
Hai mươi phút, Giang Thần nộp bài thi?
Ngoại trừ từ bỏ, hắn nghĩ không ra cái khác khả năng.
“Xem ra, phía trước đánh giá cao hắn.”
Tần Mặc trong lòng cười lạnh, “Kiểm tra tháng max điểm thì sao? Thi đua là một cái thế giới khác.”
Hắn cúi đầu xuống, tiếp tục làm bài.
......
Lưu Nguyệt lão sư tiếp nhận Giang Thần bài thi, tay đều run rẩy.
Nàng nhanh chóng nhìn lướt qua.
Đề thứ nhất, hoàn toàn đúng.
Đề thứ hai, hoàn toàn đúng, giải pháp so câu trả lời tiêu chuẩn càng có ưu thế.
Đề thứ ba, mặc dù ngay từ đầu có nghi hoặc, nhưng cuối cùng cấp ra chính xác giải.
Đề thứ tư, hoàn toàn đúng, dùng Fourier biến hóa cùng mô hình tính toán, mạch suy nghĩ kinh diễm.
Mà còn có loại thứ hai giải pháp, loại thứ ba giải pháp......
Hơn nữa...... Bốn đạo đề, hai mươi phút.
“Đồng...... Đồng học,” Lưu Nguyệt âm thanh phát run, “Ngươi...... Ngươi thật muốn nộp bài thi?”
“Ân.” Giang Thần gật đầu, “Có thể đi được chưa?”
“Có...... Có thể.”
Giang Thần quay người rời đi.
Lưu Nguyệt nhìn hắn bóng lưng, lại nhìn một chút bài thi, cảm giác chính mình giống như là đang nằm mơ.
......
Trường thi bên ngoài.
Chu Đại Bằng nhìn thấy Giang Thần đi ra, tròng mắt đều nhanh trợn lồi ra.
“Giang Thần? Ngươi...... Ngươi tại sao lại đi ra?”
“Làm xong.” Giang Thần nói.
“Hai mươi phút? Làm xong?” Chu Đại Bằng âm thanh cũng thay đổi, “Giang Thần, đây chính là hai thí! Bốn đạo đại đề, 180 phân!”
“Biết a.” Giang Thần một mặt vô tội, “Đề không khó, liền làm nhanh điểm.”
Chu Đại Bằng há to miệng, nửa ngày không nói ra lời nói.
Bên cạnh, Giang Thành nhất trung Vương lão sư cùng nhị trung Lý lão sư liếc nhau, đều cười.
“Chu lão sư, các ngươi học sinh này...... Rất có cá tính a.” Vương lão sư âm dương quái khí.
“Hai mươi phút nộp bài thi, tốc độ này...... Sợ là ngay cả đề mục đều không xem xong a?” Lý lão sư cũng trào phúng.
Chu Đại Bằng sắc mặt khó coi, nhưng không có phản bác.
Trong lòng của hắn cũng tại bồn chồn.
Giang Thần...... Sẽ không phải thật sự không làm xong a?
“Giang Thần,” Chu Đại Bằng đem Giang Thần kéo đến một bên, hạ giọng, “Ngươi cùng lão sư nói lời nói thật, ngươi thật sự làm xong? Vẫn là...... Sẽ không làm, từ bỏ?”
“Làm xong.” Giang Thần nói, “Chu lão sư, ngài không tin ta?”
“Không phải không tin......” Chu Đại Bằng cười khổ, “Chỉ là tốc độ...... Quá khoa trương.”
“Yên tâm,” Giang Thần vỗ vỗ Chu Đại Bằng bả vai, “Mấy người thành tích đi ra, ngài liền biết.”
Nói xong, hắn quay người trở về quán rượu.
Chu Đại Bằng đứng tại chỗ, tâm tình phức tạp.
Hắn vừa hy vọng Giang Thần nói là sự thật, lại cảm thấy cái này quá không thể tưởng tượng nổi.
......
Thời gian từng giây từng phút trôi qua.
Trong trường thi, các thí sinh còn tại khổ chiến.
Tần Mặc làm xong đề thứ hai, mắt nhìn thời gian: 10:50.
Đã qua 70 phút.
Hắn xoa xoa mồ hôi trán.
Lần này hai thử độ khó...... Viễn siêu hắn mong muốn.
Nhất là đề thứ ba cùng đề thứ tư, hắn đến bây giờ còn không có mạch suy nghĩ.
“Mặc kệ, trước tiên cam đoan phía trước hai đề hoàn toàn đúng.” Tần Mặc hít sâu một hơi, bắt đầu kiểm tra.
Mà giờ khắc này, Giang Thần cũng tại trong phòng khách sạn, nhàn nhã xoát điện thoại di động.
Âm thanh nhắc nhở của hệ thống thỉnh thoảng vang lên.
【 Đinh! Thu đến kinh diễm giá trị +20!】
【 Đinh! Thu đến kinh diễm giá trị +30!】
Chỉ lão sư giám khảo một người, liền cho hắn cống hiến không thiếu kinh diễm giá trị.
“Lúc này mới vừa mới bắt đầu,” Giang Thần nhếch miệng lên, “Mấy người thành tích đi ra...... Đó mới gọi nổ tràng.”
......