Thứ 139 chương Mê cung
Tay của hắn động nhanh chóng, trống không giấy nháp bị dần dần lấp đầy.
Định nghĩa 3 ( Sinh đôi điều kiện ): Hai cái số nguyên m cùng n là sinh đôi số nguyên tố đúng, khi lại vẻn vẹn làm:
1.
φ(m) cùng φ(n) cũng là X bên trong “Toán thuật kỳ điểm”, tức đối ứng số nguyên tố giống;
2.
d(φ(m), φ(n)) = 2;
Trong đó 2 là tất cả p tiến trọng lượng khác biệt thêm quyền cùng.
Nếu như m cùng n là sinh đôi số nguyên tố đúng, tỉ như 3 cùng 5, như vậy đối với số đông số nguyên tố p, |3—5|_p = | —2 |_p.
Đối với p≠2, |—2|_p = 1, bởi vì —2 không bị p chia hết.
Đối với p=2, | —2 |_2 = 1/2, bởi vì 2 chia hết —2 một lần.
Cho nên d(φ(3), φ(5)) = Σ ω(p) 1 ( đúng p≠2) + ω(2) (1/2).
Bởi vì Σ ω(p) phát tán, cho nên cái này cùng phát tán.
Cho nên 3 cùng 5 tại thêm Quyền Độ Lượng ở dưới khoảng cách là vô cùng lớn?
Tiêu Túc nhíu mày.
Không đúng, dạng này định nghĩa có vấn đề.
Ý hắn biết đến, nếu như trực tiếp dùng nguyên thủy định nghĩa, bất luận cái gì hai cái khác biệt số nguyên khoảng cách cũng là vô cùng lớn, bởi vì đối với vô tận nhiều cái p, |m—n|_p = 1.
Thêm quyền cùng tự nhiên phát tán.
Cần sửa chữa.
Có thể không phải tất cả p đều đưa vào?
Có lẽ chỉ có những cái kia đúng “Phân chia” m cùng n có cống hiến p mới đưa vào?
Tiêu Túc chống cằm suy tư một hồi, hắn cảm thấy định nghĩa 2 còn chưa đủ hoàn mỹ.
Định nghĩa 2 tại thực tế trong tính toán, hẳn là chỉ cân nhắc những cái kia |m—n|_p ≠ 0 p, tức p không ngay ngắn trừ m—n.
Đối với những thứ này p, |m—n|_p = 1.
Cho nên d(φ(m), φ(n)) có quan hệ trực tiếp tại những thứ này p quyền trọng cùng.
Làm m—n cố định lúc, cái này cùng phát tán, cho nên cần chính quy hóa.
Giảm đi phát tán hạng, lưu lại có hạn bộ phận.
Tiêu Túc chính mình từng tại 《 Số Học Phát Minh 》 ngày đó luận văn có ích qua tương tự kỹ xảo: Đối với số nguyên tố tính toán hàm số sai sót hạng, giảm đi chủ hạng sau, còn thừa bộ phận có thể dùng một cái thu liễm đẳng cấp biểu thị.
Ở đây cũng có thể dùng phương pháp giống nhau.
Định nghĩa 2' ( Chính quy hóa thêm Quyền Độ Lượng ): Định nghĩa chính quy hóa khoảng cách d̂(φ(m), φ(n)) = lim_{X→∞} [ Σ_{p≤X, p∤(m—n)} ω(p) Σ_{p≤X} ω(p)/p ]
Cái này định nghĩa tinh diệu chỗ ở chỗ, hạng thứ nhất cầu hoà là đối với tất cả không ngay ngắn trừ (m—n) số nguyên tố, hạng thứ hai giảm đi chính là tất cả số nguyên tố một loại nào đó bình quân.
Làm X→∞ Lúc, hai cái phát tán hạng triệt tiêu, lưu lại một cái có hạn giá trị.
Tiêu Túc bắt đầu tính ra cái này giá trị.
Đối với cố định kém giá trị k=m—n, không ngay ngắn trừ k số nguyên tố chiếm hơn ước chừng là ∏_{p|k} (1—1/p).
Cho nên hạng thứ nhất ước chừng tương đương (∏_{p|k} (1—1/p)) Σ_{p≤X} ω(p).
Hạng thứ hai là Σ_{p≤X} ω(p)/p.
Cả hai cùng nhau giảm sau, chủ hạng triệt tiêu, còn lại chính là một cái thu liễm đẳng cấp.
Làm k=2 lúc, chỉ có p=2 chia hết k.
Cho nên ∏_{p|k} (1—1/p) = 1—1/2 = 1/2.
Bởi vậy: d̂(φ(m), φ(n)) = lim [ (1/2)Σ_{p≤X} ω(p) Σ_{p≤X} ω(p)/p ] + Có hạn sửa đổi = lim Σ_{p≤X} ω(p)(1/2 1/p) + Có hạn sửa đổi
Làm p rất lớn lúc, (1/2 1/p) tới gần tại 1/2, cho nên cấp số này phát tán, trừ phi ω(p) suy giảm đến đầy đủ nhanh.
ω(p) = (p—1)/p log p ~ log p.
Nhân với (1/2 1/p) sau, vẫn ~ (1/2) log p, cầu hoà phát tán.
Lại kẹt.
Tiêu Túc vuốt vuốt căng thẳng huyệt Thái Dương.
Có thể ω(p) cần một lần nữa thiết kế.
Có thể hẳn là để ω(p) suy giảm nhanh hơn một chút, tỉ như ω(p) = log p / p?
Nhưng dạng này lúc trước có lý điểm đoán chừng bên trong liền không đủ dùng.
Hắn rơi vào trầm tư.
Ngoài cửa sổ truyền đến xa xa ô tô âm thanh, rất nhẹ, giống như là từ một cái thế giới khác bay tới.
Chờ đã.
Tiêu Túc đột nhiên nghĩ đến một loại khả năng tính chất.
Có thể căn bản vốn không cần d̂(φ(m), φ(n)) = 2 điều kiện này.
Có thể sinh đôi số nguyên tố bản chất đặc thù ở chỗ, φ(m) cùng φ(n) tại X bên trong tạo thành một loại đặc thù nào đó “Song Tử kết cấu”, một loại tại Tân Kỷ Hà dưới ý nghĩa phối đôi.
Hắn nhớ tới mình tại chú ý — Tân Khuông Giá bên trong định nghĩa “Sinh đôi kết cấu”, đó vốn là dùng để miêu tả Tân Lưu hình thượng hai cái tương hỗ là đối ngẫu Tử Lưu Hình.
Nếu như đem cái này khái niệm cấy ghép tới...
Sinh đôi kết cấu định nghĩa là thiết lập (M, ω) là một cái Tân Lưu Hình, L1 cùng L2 là hai cái Lagrangian Tử Lưu Hình.
Nếu như tồn tại một cái tân cùng phôi φ: M→M, khiến cho φ(L1)=L2, lại φ^2=id, lại xưng (L1, L2) cấu thành một cái sinh đôi kết cấu.
Bây giờ, đem X nhìn làm một cái Tân Lưu Hình. Đem mỗi cái số nguyên tố p đối ứng “Điểm” Nhìn làm một số không Vilag lãng thời gian Lưu Hình.
Như vậy, sinh đôi số nguyên tố đúng (p, p+2) đối ứng tại một đôi Lagrangian Tử Lưu Hình, giữa bọn chúng từ một cái đặc định tân cùng phôi tương liên hệ.
Cái này tân cùng phôi là cái gì?
Tiêu Túc để bút xuống trầm tư một hồi.
Tại trên đếm trục, từ p đến p+2 là một cái bình di.
Tại X bên trong, cái này bình di hẳn là đối ứng tại một cái biến hóa T, nó tại mỗi cái p tiến trọng lượng bên trên tác dụng là T(x) = x + 2.
T là một cái tân cùng phôi sao? Tại chú ý — Tân Khuông Giá Tân Kết Cấu bên trong, bình di đúng là tân cùng phôi, bởi vì Tân Hình Thức là bình di không đổi.
Cho nên T là tân cùng phôi.
Như vậy T^2 chính là bình di 4, không phải giống hệt chiếu rọi.
Cho nên không vừa lòng φ^2=id điều kiện.
Có thể không phải yêu cầu φ^2=id, mà là yêu cầu φ Cùng cái nào đó đối với hợp biến đổi hợp lại là id?
Tiêu Túc tiếp tục suy xét.
Thiết lập S là cái nào đó đối với hợp biến hóa, tỉ như S(x) = —x.
Như vậy nếu như T∘S là id, thì T = S.
Đây không có khả năng.
Nếu như S∘T∘S = T^{—1}?
Cái này có điểm giống Tân Kỷ Hà bên trong một loại nào đó đối ngẫu quan hệ.
Có lẽ đây chính là mấu chốt.
Tiêu Túc bắt đầu một lần nữa thuyết minh vấn đề.
Tại chú ý — Tân Khuông Giá bên trong, bất kỳ một cái nào Tân Lưu Hình đều có 3 cái cơ bản không lượng biến đổi: Xoay tròn bảo toàn lượng, cấp độ kết cấu chỉ số, có thể tính toán tính chất độ lượng.
Đối với X cái này đặc thù Tân Lưu Hình, nó xoay tròn bảo toàn lượng hẳn là cùng số nguyên tố phân bố có liên quan.
Nếu như ta có thể chứng minh, tại X bên trong, từ sinh đôi số nguyên tố điều kiện sở định Nghĩa Tử Tập có không phải linh xoay tròn bảo toàn lượng, như vậy cái này bảo toàn lượng tồn tại liền sẽ cưỡng chế yêu cầu sinh đôi số nguyên tố có vô cùng nhiều đúng, giống như lượng chuyển động của góc bảo toàn cưỡng chế yêu cầu cố thể xoay tròn không thể ngừng chỉ.
Ý nghĩ này để cho Tiêu Túc hai mắt tỏa sáng.
Hắn tiếp tục tại trên giấy suy luận.
Bước đầu tiên chính là cấu tạo X bên trên Tân Hình Thức.
Cái này cần dùng đến chú ý — Tân Khuông Giá bên trong tiêu chuẩn phương pháp, thông qua đối với mỗi cái p tiến trọng lượng giao phó một cái quyền trọng, tiếp đó lấy một loại nào đó thẳng cùng.
Cụ thể tới nói, thiết lập ω_p là thứ p cái trọng lượng bên trên tiêu chuẩn Tân Hình Thức, tại p tiến đếm vực bên trên, Tân Hình Thức có thể định nghĩa là ω_p(x,y) = |xy' x'y|_p, nhưng cần thích hợp chính quy hóa.
Tiếp đó định nghĩa cuối cùng Tân Hình Thức vì Ω = Σ λ_p ω_p, trong đó λ_p là quyền trọng hệ số.
Quyền trọng hệ số cần thỏa mãn một ít điều kiện, tỉ như khiến cho Ω Là lương định nghĩa, tức đẳng cấp thu liễm, hơn nữa khiến cho bình di biến hóa bảo trì Ω.
Tiêu Túc nếm thử thiết lập λ_p = 1/(p log p).
Dạng này Σ λ_p thu liễm, bởi vì Σ 1/(p log p) phát tán?
Không, Σ 1/(p log p) là phát tán, tích phân ∫ dx/(x log x) phát tán.
Cho nên cần suy giảm đến càng nhanh.
λ_p = 1/(p (log p)^2)?
Cấp số này thu liễm, bởi vì ∫ dx/(x (log x)^2) thu liễm.
Hảo, liền dùng cái này.
Bước thứ hai là định nghĩa sinh đôi kết cấu.
Thiết lập L_p là X bên trong đối ứng tại số nguyên tố p điểm, tức thứ p cái trọng lượng vì p, khác trọng lượng vì 0 khảm vào giống.
Như vậy đối với sinh đôi số nguyên tố đúng (p, p+2), chúng ta một cặp điểm (L_p, L_{p+2}).
Bây giờ cân nhắc biến hóa T: x → x + 2.
Đây là một cái tân cùng phôi, bởi vì Ω Là bình di không đổi.
Cân nhắc đối với hợp biến hóa S: x → —x.
S cũng là tân cùng phôi, nếu như Ω Là hàm số đối ngẫu mà nói, cái này còn cần nghiệm chứng, nhưng tạm thời giả thiết thành lập.
Như vậy S∘T là một cái biến hóa, nó đem x chiếu đến —x—2.
Cái biến đổi mét vuông này là?
(S∘T)^2 = S∘T∘S∘T = S∘(T∘S∘T).T∘S∘T đem x chiếu đến T∘S(T(x)) = T∘S(x+2) = T(—x—2) = —x.
Cho nên T∘S∘T = —id.
Bởi vậy (S∘T)^2 = S∘(—id) = —S.
Đây không phải giống hệt chiếu rọi.
Có chút loạn.
Tiêu Túc ý thức được, có thể còn cần càng hệ thống phân tích.